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Come risolvere equazioni differenziali lineari

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Come risolvere equazioni differenziali lineari</a>

L'equazione differenziale in cui la funzione sconosciuta e la sua derivata comprendono lineare, cioè il primo grado, chiamato un'equazione differenziale lineare del primo ordine.

istruzione

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Una visione generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine è:

y? + P (x) * y = f (x),

dove y - funzione ignota, e p (x) e f (x) -alcune funzioni specificate. Essi sono considerati essere continuo nella zona in cui si desidera integrare l'equazione. In particolare, esse possono essere costanti.

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Se f (x)? 0, allora l'equazione è chiamato odnorodnym- se non - quindi, rispettivamente, disomogeneo.

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L'equazione omogenea lineare può essere risolto mediante separazione di variabili. La sua forma generale: y? + P (x) * y = 0, pertanto:

dy / dx = -p (x) * y, il che implica che dy / y = -p (x) dx.

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L'integrazione di entrambi i lati della equazione risultante, otteniamo:

? (Dy / y) = -? P (x) dx, cioè, ln (y) = -? P (x) dx + ln (C) oppure Y = C * e ^ (-? P (x) dx) ).

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Soluzione dell'equazione lineare non omogenea può essereprelevare dalle soluzioni del corrispondente omogeneo, cioè, la stessa equazione con il lato destro del f caduto (x). Per effettuare questa operazione, sostituire la costante C nella soluzione dell'equazione funzione sconosciuta omogenea? (X). Poi la soluzione dell'equazione non omogenea sarà presentato sotto forma di:

? Y = (x) * e ^ (-? P (x) dx)).

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Derivando questa espressione, vediamo che la derivata di y è:

y? = ?? (x) * e ^ (-? P (x) dx) -? (X) * p (x) * e ^ (-? P (x) dx).

Sostituendo le espressioni di y e y? nell'equazione originale e semplificando ottenuto facilmente venire al risultato:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

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Dopo l'integrazione di entrambi i lati si arriva genere:

? (X) =? (F (x) * e ^ (? P (x) dx)) dx + C1.

Pertanto, la funzione incognita y è espressa come:

y = e ^ (- p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

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Se equiparare la costante C a zero, allora l'espressione for y può ottenere una particolare soluzione dell'equazione proposta:

y1 = (e ^ (-? p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Poi, una soluzione completa può essere espresso come:

y = y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).

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In altre parole, una soluzione completa del linearedisomogeneo equazione differenziale del primo ordine è uguale alla somma della sua particolare soluzione e la soluzione generale del corrispondente equazione lineare omogenea del primo ordine.

Come risolvere equazioni differenziali lineari E 'stato modificato l'ultima volta: 21 giugno 2017 da vashuorm
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